Создано txAlien в 30.09.11 :: 21:50:14
Заголовок: Re: Электростатика в 2d
$$E_x - iE_y=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-\xi ^2}}\frac{d\xi }{\xi -x-0.001i}$$Проверка того, что найденное поле Е для отрезка 2d удовлетворяет интегральному уравнению в ответе #1.Ex - черная кривая. Это численный расчет, но интеграл легко вычисляется аналитически.Используя точное значение значение, без численного интегрирования, получилось так: Поскольку формула аналитическая, то построил график с большим числом точек.P.S.P Ey на графикаx с обратным знаком.
Создано txAlien в 28.09.11 :: 20:38:28
Заголовок: Re: Электростатика в 2d
Да, я смотрю на эту тему и ленюсь... :-[ Попозже, может, напишу.
Создано peregoudov в 28.09.11 :: 13:06:10
Заголовок: Re: Электростатика в 2d
Что-то нет никаких ответов.. :(Вероятно для одних это слишком просто, а другим неохота функции комплексного переменного вспоминать.Чтобы решить эту задачу надо помнить только, что аналитические функции однозначно определяются своими особенностями. Вся электростатика это просто аналитические функции, а их особенности - это заряды (если скачок на разрезе мнимый) или токи (если скачок действительный).P PP PP P $$\left( E_x-iE_y\right) =E\left( z\right) =-\frac{\partial }{\partial z}\varphi \left( z\right) $$P PP PP P $$\frac{\partial }{\partial z^{\ast }}E\left( z\right) =2\pi \rho \left( z,z^{\ast }\right) $$Последнее уравнение может показаться странным, но производнаяP $\frac{\partial }{\partial z^{\ast }}E\left( z\right) $равана 0 везде, за исключением особенностей. Например покажите, что частная производная по $z^{\ast }$ от функции P PP PP P$$E=2q\frac{1}{z}\rightarrow 2q\frac{z^{\ast }}{zz^{\ast }+\varepsilon }=2q\frac{1}{z+\frac{\varepsilon }{z^{\ast }}}$$равна $$2\pi q\delta \left( x\right) \delta \left( y\right) $$P при $$\varepsilon \rightarrow 0$$При таком определении особенностей аналитических функций легко понять связь и Поэтому для двумерного отрезка надо найти такую функцию, чтобы она имела только разрез при (-1 ≤x ≤ 1) и при больших z имела асимптотику ~const/z. Для этого подходит функцияP PP PP P $$E(z)=\dfrac{i}{\sqrt{1-z^{2}}}\rightarrow \pm \frac{1}{z}$$Таже самая функция, но при другом выборе разрезов получится в поле бесконечной плоскости с прямой щелью. Полуплоскости имеют противоположные заряды. Задача в ЛЛ8, гл 1, W4, задача 8. (там много опечаток).Попробуйте найти теперь поле для полуплоскостей с одинаковым зарядом или незаряженного отрезка 2d в постоянном поле.Но и полуокружности, конечно.
Создано txAlien в 28.09.11 :: 10:38:55
Заголовок: Re: Электростатика в 2d
Думаю, почти всем известна связь функций одной комлексной переменной с электро или магнито-статикой. Любая аналитическая функция является решением для потенциала некой задачи электростатики, вернее ее действительная или мнимая части. Например, $\Re \ln z$ есть потенциал точечного заряда в 2d или бесконечно длинного проводника в 3d. $\Im \ln z$ описывает потенциал магнитного поля текущего по тому же проводу. $z=x+iy$.Производная от этого потенциала по $z$ есть электрическое поле. Если ее умножить на $i$ - получится магнитное поле. В ЛЛ8, W3, задача 3 - функция $iz^{k}e ^{-i\pi (2k-1)}$ - потенциал клина, две полуплоскости пересакающиеся в точке $z=0$ под углом $\phi =\pi (2-1/k)$ .P При $k=1/2$ это потенциал одной полуплоскости.Задачи: найти потенциал отрезка (-1 ≤x ≤ 1) или бесконечно длинной проводящей полоски в 3d.Можно сразу написать ответ или решить сингулярное интегральное уравнениеP PP PP PP PP P$P\int_{-1}^{1}\dfrac{\rho (\xi )d\xi }{\xi -x}=0$P P(P - означает главное значение интеграла)это условие, что проекция электрического поля на ось х внутри отрезка равна 0.Почему-то решение таких уравнений часто не входит в программу обучения физиков.Найти поле внутри клина.Найти потенциал полуокружности (или полуцилиндра).
Создано txAlien в 16.09.11 :: 22:23:29
Заголовок: Электростатика в 2d
Сообщение написано txAlien в 16.09.11 :: 22:23:29
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1316197409
Точные науки и дисциплины >> Физика, Pастрономия, Pматематические решения >> Электростатика в 2d
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl
Научно-технический форум SciTecLibrary
Научно-технический форум SciTecLibrary - Печатать страницу
Комментариев нет:
Отправить комментарий